Question

設(shè)向量

a

=(3，5，-4)，

b

=(2，1，8)，計(jì)算2

a

+3

b

，3

a

-2

b

，

a

•

b

及

a

與

b

的夾角，并確定當(dāng)λ，μ滿足什么關(guān)系時(shí)，使λ

a

+μ

b

與z軸垂直．

Answer 1

分析：由向量的坐標(biāo)運(yùn)算規(guī)則求出2

a

+3

b

，3

a

-2

b

的坐標(biāo)，利用數(shù)量積公式求出，

a

•

b

及

a

與

b

的夾角，確定λ，μ滿足什么關(guān)系．

解答：解：∵

a

=（3，5，-4），

b

=（2，1，8），
∴2

a

+3

b

=（12，13，16），3

a

-2

b

=（5，13，-28），

a

•

b

=-21．
又

a

與

b

的夾角的余弦為

-21

5 138

∴

a

與

b

的夾角是arccos

-21

5 138

∵z軸的方向向量為（0，0，1），
λ

a

+μ

b

=（3λ+2μ，5λ+μ，-4λ+8μ），
∵λ

a

+μ

b

與z軸垂直，則0•（3λ+2μ）+0•（5λ+μ）+（-4λ+8μ）=0，即8μ-4λ=0，∴λ=2μ．
∴λ=2μ時(shí)，λ

a

+μ

b

與z軸垂直．

點(diǎn)評(píng)：本題是空間向量求直線的夾角、距離，考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及向量的夾角的求法，向量垂直的等價(jià)條件，解答本題關(guān)鍵是了解向量的幾何意義，數(shù)量積的幾何意義．