Question

某家庭進(jìn)行理財(cái)投資，根據(jù)長期收益率市場調(diào)查和預(yù)測，投資債券等穩(wěn)鍵型產(chǎn)品A的收益與投資成正比，其關(guān)系如圖1所示；投資股票等風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品B的收益與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖2所示（收益與投資單位：萬元）．
（1）分別將A、B兩種產(chǎn)品的收益表示為投資的函數(shù)關(guān)系式；
（2）該家庭現(xiàn)有10萬元資金，并全部投資債券等穩(wěn)鍵型產(chǎn)品A及股票等風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品B兩種產(chǎn)品，問：怎樣分配這10萬元投資，才能使投資獲得最大收益，其最大收益為多少萬元？

Answer 1

分析：（1）設(shè)投資為x萬元，A、B兩產(chǎn)品獲得的收益分別為f（x）、g（x）萬元，由題意，f（x）=k₁x，g（x）=k2

x

，k₁，k₂≠0，x≥0，再由圖象能求出A、B兩種產(chǎn)品的收益表示為投資的函數(shù)關(guān)系式．
（2）設(shè)對股票等風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品B投資x萬元，則對債券等穩(wěn)鍵型產(chǎn)品A投資（10-x）萬元，記家庭進(jìn)行理財(cái)投資獲取的收益為y萬元，則y=

1

4

(10-x)+

5

4

x

，x≥0．利用換元法能求出怎樣分配這10萬元投資，才能使投資獲得最大收益，并能求出其最大收益為多少萬元．

解答：解：（1）設(shè)投資為x萬元，
A、B兩產(chǎn)品獲得的收益分別為f（x）、g（x）萬元，
由題意，f（x）=k₁x，g（x）=k2

x

，k₁，k₂≠0，x≥0，
又由圖知f（1.8）=0.45，g（4）=2.5；解得k1=

1

4

，k₂=

5

4

，
∴f（x）=

1

4

x，x≥0．g（x）=

5

4

x

，x≥0．（不寫定義域扣1分）
（2）設(shè)對股票等風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品B投資x萬元，則對債券等穩(wěn)鍵型產(chǎn)品A投資（10-x）萬元，
記家庭進(jìn)行理財(cái)投資獲取的收益為y萬元，
則y=

1

4

(10-x)+

5

4

x

，x≥0．
設(shè)

x

=t，則x=t²，0≤t≤

10

．
∴y=-

1

4

(t-

5

2

)2+

65

16

，
當(dāng)t=

5

2

，也即x=

25

4

時(shí)，y取最大值

65

16

．
答：對股票等風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品B投資

25

4

萬元，對債券等穩(wěn)鍵型產(chǎn)品A投資

15

4

萬元時(shí)，
可獲最大收益

65

16

萬元．（答（1分），單位（1分） ）

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)在生產(chǎn)生活中的實(shí)際應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．