Question

【題目】橢圓的離心率為且四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成面積為的菱形.

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）過點(diǎn)且斜率不為0的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，記中點(diǎn)為，坐標(biāo)原點(diǎn)為，直線交橢圓于，兩點(diǎn)，當(dāng)四邊形的面積為時(shí)，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或.

【解析】

（Ⅰ）由離心率為結(jié)合得到，結(jié)合四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成面積為的菱形列方程即可求解.

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程可得：，，即可求得直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程即可求得，求出兩點(diǎn)到直線的距離，，結(jié)合四邊形的面積為列方程即可求得，問題得解。

解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的焦距為，則，又，所以.

因?yàn)?/span>，所以，，

故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，得 .

設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則有，，因此.

所以直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，得.

所以弦長.

不妨設(shè)點(diǎn)在直線：上方，則點(diǎn)在直線：下方.

點(diǎn)到直線的距離為，

點(diǎn)到直線的距離為.

所以.

所以面積 .

因此直線的方程為或.