Question

（本題滿分12分）

已知函數(shù)

   （1）若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；

   （2）當(dāng)a>0時(shí)，試討論這兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

（1）a>1

（2）有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)

解析:

（1）

若使存在單調(diào)遞減區(qū)間，則上有解．……1分

而當(dāng)

問題轉(zhuǎn)化為上有解，故a大于函數(shù)上的最小值．

                                                                                           ………………3分

又上的最小值為-1，所以a>1．……4分

   （2）令

函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．……5分

令解得

隨著x的變化，的變化情況如下表：

	-	0	+
	單調(diào)遞減	極（最）小值2+lna	單調(diào)遞增

                     …………7分

①當(dāng)恒大于0，函數(shù)無零點(diǎn)．……8分

②當(dāng)由上表，函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．

                            ……9分

③顯然

內(nèi)單調(diào)遞減，

所以內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)                 …………10分

當(dāng)

由指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)增長速度的快慢，知存在

使得

從而

因而

又內(nèi)單調(diào)遞增，上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，

所以內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．   …………11分

因此，有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)．

綜上，的圖象無交點(diǎn)；當(dāng)的圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；的圖像有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)．……12分