Question

已知函數(shù)f₁（x）為正比例函數(shù)，f₂（x）為反比例函數(shù)，點(diǎn)P（1，2）為它們的交點(diǎn)．
（1）求f₁（x）、f₂（x）的解析式；
（2）若g（x）=f₁（x）-f₂（x），當(dāng)x∈[2，3]時(shí)求g（x）的最值；
（3）若h（x）=f₁（x）+f₂（x），當(dāng)x∈[2，3]時(shí)求h（x）的最值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)類型設(shè)出函數(shù)的解析式，然后根據(jù)點(diǎn)P（1，2）為它們的交點(diǎn)，則交點(diǎn)適合方程，從而求出所求；
（2）根據(jù)x∈[2，3]時(shí)，2x為增函數(shù)，

2

x

為減函數(shù)可知g（x）=2x-

2

x

在[2，3]上單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最值；
（3）先判定函數(shù)h（x）在[2，3]上的導(dǎo)數(shù)符號(hào)，從而求出函數(shù)在[2，3]上的單調(diào)性，即可求出所求．

解答：解（1）∵函數(shù)f₁（x）為正比例函數(shù)，f₂（x）為反比例函數(shù)，
∴設(shè)f₁（x）=mx，f₂（x）=

n

x

而點(diǎn)P（1，2）為它們的交點(diǎn)
∴f₁（1）=m=2，f₂（1）=n=2
則.f1(x)=2x、f2(x)=

2

x

------------------------------------（4分）；
（2）g（x）=f₁（x）-f₂（x）=2x-

2

x

x∈[2，3]時(shí)，2x為增函數(shù)，

2

x

為減函數(shù)
∴g（x）=f₁（x）-f₂（x）=2x-

2

x

在[2，3]上單調(diào)遞增
∴g（x）的最小值為g（2）=3，最大值為g（3）=

16

3

--------------------------------------（8分）
（3）若h（x）=f₁（x）+f₂（x）=2x+

2

x

h'（x）=2-

2

x2

，當(dāng)x∈[2，3]時(shí)h'（x）＞0
∴h（x）在[2，3]上單調(diào)遞增
∴h（x）的最小值為h（2）=5，最大值為h（3）=

20

3

------------------------（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，以及函數(shù)解析式和值域，屬于中檔題．