Question

如圖，四邊形OABC是邊長(zhǎng)為1的正方形，OD=3，點(diǎn)P為△BCD內(nèi)（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)

OP

=α

OC

+β

OD

（α，β∈R），則α+β的最大值等于

 

．

Answer 1

分析：先建立以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)D所在直線為x軸的直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件求出點(diǎn)P的坐標(biāo)與α，β之間的關(guān)系，再根據(jù)點(diǎn)P的位置，
借助于可行域即可求解．

解答：解：以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)D所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，
設(shè)點(diǎn)P（x，y），∵

OP

=α

OC

+β

OD

，則（x，y）=α（0，1）+β（3，0）=（3β，α）．
所以，x=3β，y=α，α+β=y+

x

3

．
由于點(diǎn)P在△BCD內(nèi)（包含邊界），目標(biāo)函數(shù)為 α+β=y+

x

3

，如圖（2）所示，
當(dāng)點(diǎn)P為點(diǎn)B（1，1）時(shí)，α+β=y+

x

3

取得最大值，其最大值為1+

1

3

=

4

3

，
故答案為：

4

3

．
圖（1），圖（2）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查相等向量以及線性規(guī)劃的簡(jiǎn)單應(yīng)用，是對(duì)知識(shí)點(diǎn)的綜合考查，考查計(jì)算能力．