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        1. 已知a>0,b>0,且a+b=1,求證:
          2a+1
          +
          2b+1
          ≤2
          2
          分析:利用基本不等x2+y2≥2xy以及二元均值不等式
          xy
          x+y
          2
          之間的關(guān)系有(
          x+y
          2
          )
          2
          ≤  
          x2+y2
          2
          ,代入即可.
          解答:證明:若x>0,y>0,x2+y2≥2xy以及
          xy
          x+y
          2

          (
          x+y
          2
          )
          2
          ≤  
          x2+y2
          2

          (
          2a+1
          +
          2b+1
          2
          )
          2
          (
          2a+1
          )
          2
          +(
          2b+1
          )
          2
          2
          =
          2a+1+2b+1
          2
          =2
          2a+1
          +
          2b+1
          ≤2
          2

          當且僅當
          2a+1
          =
          2b+1
          即a=b=
          1
          2
          時取等號
          點評:本題考查不等式的證明,解題關(guān)鍵是要注意到基本不等式與均值不等式之間的關(guān)系,同時要考慮到不等式中等號成立的條件,屬于基礎(chǔ)題.
          練習冊系列答案
          相關(guān)習題

          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知a>0,b>0,且ab=1,α=a+
          4
          a
          ,β=b+
          4
          b
          ,則α+β的最小值為(  )

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          (1)在平面直角坐標系xOy中,判斷曲線C:
          x=2cosθ
          y=sinθ
          (θ為參數(shù))與直線l:
          x=1+2t
          y=1-t
          (t為參數(shù))是否有公共點,并證明你的結(jié)論.
          (2)已知a>0,b>0,a+b=1,求證:
          1
          2a+1
          +
          4
          2b+1
          9
          4

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          (2013•松江區(qū)二模)已知雙曲線C的中心在原點,D(1,0)是它的一個頂點,
          d
          =(1,
          2
          )
          是它的一條漸近線的一個方向向量.
          (1)求雙曲線C的方程;
          (2)若過點(-3,0)任意作一條直線與雙曲線C交于A,B兩點 (A,B都不同于點D),求證:
          DA
          DB
          為定值;
          (3)對于雙曲線Γ:
          x2
          a2
          -
          y2
          b2
          =1(a>0,b>0,a≠b)
          ,E為它的右頂點,M,N為雙曲線Γ上的兩點(都不同于點E),且EM⊥EN,那么直線MN是否過定點?若是,請求出此定點的坐標;若不是,說明理由.然后在以下三個情形中選擇一個,寫出類似結(jié)論(不要求書寫求解或證明過程).
          情形一:雙曲線
          x2
          a2
          -
          y2
          b2
          =1(a>0,b>0,a≠b)
          及它的左頂點;
          情形二:拋物線y2=2px(p>0)及它的頂點;
          情形三:橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)
          及它的頂點.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知a>0,b>0,a+b=1,則a+
          1
          a
          +b+
          1
          b
          的最小值為
          5
          5

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          科目:高中數(shù)學 來源:松江區(qū)二模 題型:解答題

          已知雙曲線C的中心在原點,D(1,0)是它的一個頂點,
          d
          =(1,
          2
          )
          是它的一條漸近線的一個方向向量.
          (1)求雙曲線C的方程;
          (2)若過點(-3,0)任意作一條直線與雙曲線C交于A,B兩點 (A,B都不同于點D),求證:
          DA
          DB
          為定值;
          (3)對于雙曲線Γ:
          x2
          a2
          -
          y2
          b2
          =1(a>0,b>0,a≠b)
          ,E為它的右頂點,M,N為雙曲線Γ上的兩點(都不同于點E),且EM⊥EN,那么直線MN是否過定點?若是,請求出此定點的坐標;若不是,說明理由.然后在以下三個情形中選擇一個,寫出類似結(jié)論(不要求書寫求解或證明過程).
          情形一:雙曲線
          x2
          a2
          -
          y2
          b2
          =1(a>0,b>0,a≠b)
          及它的左頂點;
          情形二:拋物線y2=2px(p>0)及它的頂點;
          情形三:橢圓
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)
          及它的頂點.

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