Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過(guò)點(diǎn)P（3，1），其左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，且

F1P

•

F2P

=-6．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若M，N是直線x=5上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且F₁M⊥F₂N，圓C是以MN為直徑的圓，其面積為S，求S的最小值以及當(dāng)S取最小值時(shí)圓C的方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂的坐標(biāo)分別為（-c，0），（c，0），代入

F1P

•

F2P

=-6求出c，再根據(jù)橢圓的定義求出2a，從而求得橢圓的方程；
（2）設(shè)出M，N的坐標(biāo)分別為（5，m），（5，n），根據(jù)F₁M⊥F₂N，得到mn=-9，要求以MN為直徑的圓的面積最小，即求MN最小，利用基本不等式即可求得線段MN的最小值，從而求得S的最小值以及當(dāng)S取最小值時(shí)圓C的方程．

解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂的坐標(biāo)分別為（-c，0），（c，0）（c＞0），
則

F1P

=(3+c，1)，

F2P

=(3-c，1)，
故

F1P

•

F2P

=(3+c)(3-c)+1=10-c2=-6，可得c=4，
所以2a=|PF1|+|PF2|=

(3+4)2+12

+

(3-4)2+12

=6

2

，
故a=3

2

，b2=a2-c2=18-16=2，
所以橢圓E的方程為

x2

18

+

y2

2

=1．　　　　　　
（2）設(shè)M，N的坐標(biāo)分別為（5，m），（5，n），
則

F1M

=(9，m)，

F2N

=(1，n)，又

F1M

⊥

F2N

，
可得

F1M

•

F2N

=9+mn=0，即mn=-9，
又|MN|=|m-n|=|m|+|n|≥2

|m|•|n|

=2

9

=6，（當(dāng)且僅當(dāng)|m|=|n|時(shí)取等號(hào)）
故Smin=π(

6

2

)2=9π，且當(dāng)S取最小值時(shí)，
有m=3，n=-3或m=-3，n=3，
此時(shí)圓C的方程為（x-5）²+y²=9．

點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)中檔題．考查橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，以及圓與橢圓的綜合等知識(shí)，同時(shí)考查了學(xué)生創(chuàng)造性分析解決問(wèn)題的能力．