Question

在平面直角坐標系中，已知圓心在軸上，半徑為的圓位于軸的右側(cè)，且與軸相切，

（Ⅰ）求圓的方程；

（Ⅱ）若橢圓的離心率為，且左右焦點為，試探究在圓上是否存在點，使得為直角三角形？若存在，請指出共有幾個這樣的點？并說明理由（不必具體求出這些點的坐標）

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ），圓上存在4個點，使得為直角三角形．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）求圓的方程，只要求出圓心與半徑即可，而已知圓的半徑為，圓心在軸上，圓位于軸的右側(cè)，且與軸相切，故圓心為，從而可得圓的方程；（Ⅱ）探究在圓上是否存在點，使得為直角三角形，首先求出的坐標，而是橢圓的左右焦點，須求出橢圓的方程，由題意橢圓的離心率為，，可求得，，可得，為直角三角形，有圓的方程可知，只需過作軸的垂線，與圓的兩個交點符合題意，過可作圓的兩條切線，與圓的兩個切點也符合，從而找到點．

試題解析：（Ⅰ）依題意，設(shè)圓的方程為（x-a）²+y²=16(a>0)．  （1分）

∵圓與y軸相切，∴a=4，∴圓的方程為(x-4)²+y²=16   （4分）

（Ⅱ）∵橢圓=1的離心率為，∴e===

解得b²=9             （6分）

∴c==4，∴F₁(-4,0),F₂(4,0)           （7分）

∴F₂(4,0)恰為圓心C         （8分）

（i）過作軸的垂線，交圓P₁,P₂，則∠P₁F₂F₁=∠P₂F₂F₁=90°，符合題意；（10分）

（ii）過F₁可作圓的兩條切線，分別與圓相切于點P₃,P₄，

連接CP₃,CP₄，則∠F₁P₃F₂=∠F₁P₄F₂=90°，符合題意．    （12分）

綜上，圓C上存在4個點P，使得△PF₁F₂為直角三角形．    （13分）

考點：圓的方程，橢圓方程，探索性問題．