Question

如圖，在底面ABCD是矩形的四棱錐P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F(xiàn)分別是PB，PC的中點．
（1）求四棱錐P-ABCD的體積． 
（2）證明：EF⊥面PAB．

Answer 1

分析：（1）由已知中PA⊥面ABCD，可得PA為四棱錐P-ABCD的高，由AP=AB，BP=BC=2，求出底面面積和高，代入棱錐體積公式可得答案．
（2）由PA⊥面ABCD可得PA⊥BC，由底面為矩形可得BC⊥AB，進而由線面垂直的判定定理可得BC⊥平面PAB，結(jié)合線面垂直的第二判定定理和三角形中位線定理可得EF⊥面PAB

解答：解：（1）∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，
∴PA⊥AB
在Rt△PAB中，AP=AB，BP=2，
得AP=AB=

2

又PA為四棱錐P-ABCD的高
∴四棱錐P-ABCD的體積V=

1

3

×2×

2

×2=

4 2

3

證明：（2）∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PA⊥BC
又∵底面ABCD是矩形
∴BC⊥AB
又∵AB∩PA=A，AB，PA?平面PAB
∴BC⊥平面PAB
又∴E，F(xiàn)分別是PB，PC的中點
∴EF∥BC，
∴EF⊥面PAB

點評：本題考查的知識點是棱錐的體積，直線與平面垂直的判定，其中（1）的關(guān)鍵是求出棱錐的底面面積和高，（2）的關(guān)系是熟練掌握空間線線垂直，線面垂直之間的相互轉(zhuǎn)化．