Question

（2012•海淀區(qū)一模）已知函數(shù)f(x)=sinx+sin(x-

π

3

)．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知f(A)=

3

2

，a=

3

b，試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析：（Ⅰ）將f（x）解析式第二項利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，由正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間列出關于x的不等式，求出不等式的解集即可得到f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）由第一問確定的函數(shù)解析式及f（A）=

3

2

，求出sin（A-

π

6

）的值，由A的范圍求出A-

π

6

的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值求出A的度數(shù)，再由a=

3

b，利用正弦定理求出sinB的值，由a大于b，利用三角形的邊角關系得出A大于B，利用特殊角的三角函數(shù)值求出B的度數(shù)，進而確定出C的度數(shù)，判定出三角形ABC的形狀．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=sinx+sin（x-

π

3

）=sinx+

1

2

sinx-

3

2

cosx
=

3

2

sinx-

3

2

cosx=

3

（

3

2

sinx-

1

2

cosx）
=

3

sin（x-

π

6

），
由2kπ-

π

2

≤x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
解得：2kπ-

π

3

≤x-

π

6

≤2kπ+

2π

3

，k∈Z，
則f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ-

π

3

，2kπ+

2π

3

]，k∈Z；
（Ⅱ）∵f（A）=

3

sin（A-

π

6

）=

3

2

，
∴sin（A-

π

6

）=

1

2

，
∵0＜A＜π，∴-

π

6

＜A-

π

6

＜

5π

6

，
∴A=

π

3

，又a=

3

b，
∴由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得：sinB=

1

2

，
又a＞b，A=

π

3

，
∴B=

π

6

，
∴C=

π

2

，
則△ABC為直角三角形．

點評：此題考查了三角形形狀的判定，涉及的知識有：正弦定理，正弦函數(shù)的單調(diào)性，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．