Question

如圖，在三棱錐S-ABC中，SC⊥平面ABC，點P、M分別是SC和SB的中點，設PM=AC=1，∠ACB=90°，直線AM與直線SC所成的角為60°．
（1）求證：BC∥面AMP；
（2）求證：平面MAP⊥平面SAC；
（3）求銳二面角M-AB-C的大小的余弦值．

Answer 1

分析：（1）利用三角形中位線的性質，可得線線平行，從而可得線面平行；
（2）欲證面MAP⊥面SAC，根據面面垂直的判定定理可知在平面MAP內一直線與平面SAC垂直，根據線面垂直的判定定理可知BC⊥平面SAC，而PM∥BC，從而PM⊥面SAC，滿足定理所需條件；
（3）建立空間直角坐標系，利用向量的夾角公式，即可求銳二面角M-AB-C的大小的余弦值．

解答：（1）證明：∵P，M是SC、SB的中點
∴PM∥BC，
∵BC?面AMP，PM?面AMP
∴BC∥面AMP；
（2）證明：∵SC⊥平面ABC，SC⊥BC，
又∵∠ACB=90°∴AC⊥BC，
∵AC∩SC=C，∴BC⊥平面SAC，
∵PM∥BC，
∴PM⊥面SAC，
∵PM?面MAP，∴面MAP⊥面SAC；
（3）解：以C為原點，建立空間直角坐標系，
則P（0，0，

6

3

），B（0，2，0），A（1，0，0），M（0，1，

6

3

），S（0，0，

2 6

3

）
∴

AM

=（-1，1，

6

3

），

AB

=（-1，2，0）
設平面MAN的一個法向量為

n

=（x，y，z），則
由

n • AM =0 n • AB =0

，可得

-x+y+ 6 3 =0 -x+2y=0

∴可取

n

=（4，2，

6

）
取平面ABC的一個法向量為

m

=（0，0，1）
∴cos＜

n

，

m

＞=

n • m

| n || m |

=

6

26

=

39

13

∴銳二面角M-AB-C的大小的余弦值為

39

13

．

點評：本題考查線面平行，考查平面與平面垂直的判定，二面角及其度量，考查空間想象能力，邏輯思維能力，計算能力，是中檔題．