Question

已知：如圖，在單位正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是A₁B上的點，A1M=

1

3

A1B，N是B₁D₁上的點，B1N=

1

3

B1D1．
求證：（I）MN是異面直線A₁B與B₁D₁的公垂線；
      （II）求線段MN的長．

Answer 1

分析：（1）建立如圖所示空間直角坐標系，設(shè)正方體的棱長為1，推出A₁，B₁，D₁，B，M，N的坐標，求出

MN

•

A1B

=0，

MN

•

B1D1

=0，即可證明MN是異面直線A₁B與B₁D₁的公垂線；
（2）求出

MN

，再求出它的模，得出它的長度即可．

解答：（1）證明：建立如圖所示空間直角坐標系，設(shè)正方體的棱長為1，
則A₁（0，0，1），B₁（1，0，1），D₁（0，1，1），B（1，0，0），
∵A₁M=

1

3

A₁B，B₁N=

1

3

B₁D₁，
∴M（

1

3

，0，

2

3

），N（

2

3

，

1

3

，1）
∴

A1B

=(1，0，-1)，

B1D1

=（-1，1，0），

MN

=(

1

3

，

1

3

，

1

3

)，

MN

•

A1B

=(1，0，-1)• (

1

3

，

1

3

，

1

3

)=

1

3

×1+0×

1

3

-1×

1

3

=0，

MN

•

B1D1

=(-1，1，0)• (

1

3

，

1

3

，

1

3

)=-1×

1

3

+1×

1

3

+0×

1

3

=0
∴MN⊥A₁B，MN⊥B₁D₁，又MN與A₁B和B₁D₁都相交
故MN是異面直線A₁B與B₁D₁的公垂線．…10分
（2）解：因為

MN

=(

1

3

，

1

3

，

1

3

)，
所以|MN|=

( 1 3 )2+( 1 3 )2+( 1 3 )2

=

3

3

∴MN的長為

3

3

…12分．

點評：本題是中檔題，考查異面直線的公垂線的證明方法，線段長度的求法，考查空間想象能力，計算能力．