Question

經(jīng)長期觀測，某海濱浴場七月份每天海浪的高度為y（米）可近似地看成關(guān)于時間t（0≤t≤24，單位：小時）的函數(shù)y=Acosωt+b．下表是該地某觀測站測得七月份某天各時刻的浪高數(shù)據(jù)：

t（時）	0	3	6	9	12	15	18	21	24
y（米）	1.5	1.0	0.5	1.0	1.5	1.0	0.5	0.99	1.5

（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求該函數(shù)的表達式；
（2）該浴場規(guī)定，當(dāng)海浪的高度高于1米時，才對沖浪愛好者開放，請判斷一天內(nèi)的上午8：00時至晚上20：00時之間，有多少時間可供沖浪者進行沖浪運動？

Answer 1

分析：（1）函數(shù)模型給定，關(guān)鍵是根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，求出函數(shù)的周期，從浪高最大值到下一次浪高最大值所用的時間即周期，由周期可求ω；利用函數(shù)滿足（0，1.5），（3，1.0）可求振幅A及b的值；
（2）當(dāng)海浪高度高于1米時，解不等式y(tǒng)＞1，求出不等式在上午8：00時至晚上20：00之間的解即可．

解答：解：（1）由表中數(shù)據(jù)，知周期T=12，ω=

π

6

．（4分）
又由t=0，y=1.5得A+b=1.5   ①由t=3，y=1.0得b=1.0  ②
解得A=0.5，b=1，故所求的函數(shù)解析式y(tǒng)=

1

2

cos

π

6

t+1．（6分）
（2）由題設(shè)知，當(dāng)y＞1時，才可以對沖浪愛好者開放，∴

1

2

cos

π

6

t+1＞1．（8分）
即cos

πt

6

＞0，∴2kπ-

π

2

＜

π

6

•t＜2kπ+

π

2

，即12k-3＜t＜12k+3（k∈Z）．（10分）
∵0≤t≤24，∴k只能取0，1，2，相應(yīng)的t值是0≤t＜3或9＜t＜15，或21＜t≤24，
故在規(guī)定時間內(nèi)有6個小時可供沖浪者進行沖浪運動．即上午9時至下午3時．（13分）

點評：本題是給定三角函數(shù)模型，考查函數(shù)解析式的求解，同時考查利用解析式解決實際問題．根據(jù)給出數(shù)據(jù)周期性的特點，觀察數(shù)據(jù)，是解題的關(guān)鍵．