Question

橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，焦距為2，且經(jīng)過點(diǎn)A （-1，

3

2

）；
（1）求滿足條件的橢圓方程；
（2）求該橢圓的頂點(diǎn)坐標(biāo)，長軸長，短軸長，離心率．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），由橢圓的焦距為2，得c=1，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）．然后根據(jù)橢圓的定義，結(jié)合兩點(diǎn)的距離公式得2a=|AF₁|+|AF₂|=4，從而a=2，可得b²=3，可得該橢圓方程；
（2）由（1）的計(jì)算結(jié)果，結(jié)合橢圓的有關(guān)基本概念，可得該橢圓的頂點(diǎn)坐標(biāo)，長軸長，短軸長，離心率．

解答：解：（1）∵橢圓的焦點(diǎn)在x軸，
∴設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
∵橢圓的焦距為2
∴c=1，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），
∵橢圓經(jīng)過點(diǎn)A （-1，

3

2

），
∴根據(jù)橢圓的定義，得2a=|AF₁|+|AF₂|=

(-1+1)2+( 3 2 )2

+

(-1-1)2+( 3 2 )2

=4，
可得a=2，所以b²=a²-c²=3，
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）由（1）得，橢圓的頂點(diǎn)坐標(biāo)：（±2，0）和（0，±

3

）；
長軸長為4；短軸長為2

3

；離心率e=

c

a

=

1

2

．

點(diǎn)評：本題給出橢圓的焦點(diǎn)和橢圓上一點(diǎn)的坐標(biāo)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及它的各個(gè)基本量，著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．