Question

（1）a，b∈R證明|a+b|≥|a|-|b|，
（2）已知 |x-a|＜

c

2

，|y-b|＜

c

2

，求證|（x+y）-（a+b）|＜c．

Answer 1

分析：（1）欲證明原不等式成立，考慮到當(dāng)|a|-|b|≤0時已成立，故只須證明當(dāng)|a|-|b|＞0時成立即可．利用分析法證明即得；
（2）先將原不等式的左邊化成|（x-a）+（y-b）|，再利用三角不等式進(jìn)行放縮即可得到證明．

解答：證明：（1）當(dāng)|a|-|b|≤0時，|a+b|≥|a|-|b|成立，
當(dāng)|a|-|b|＞0時，即證明|a+b|²≥（|a|-|b|）²，
整理得 a²+b²+2ab≥a²+b²-2|ab|．
即證ab≥-|ab|
易知上不等式成立，
所以原不等式也成立．
綜上，|a+b|≥|a|-|b|，
（2）∵|（x+y）-（a+b）|=|（x-a）+（y-b）|
由三角不等式得，|（x-a）+（y-b）|≤|x-a|+|y-b|＜

c

2

+

c

2

=c．
∴|（x+y）-（a+b）|＜c．

點(diǎn)評：本題主要考查了絕對值不等式的證明，考查了三角不等式的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．