Question

如圖，已知長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=3，AD=AA₁=2，點(diǎn)O是線段BC₁的中點(diǎn)，點(diǎn)M是OD的中點(diǎn)，點(diǎn)E是線段AB上一點(diǎn)，AE＞BE，且A₁E⊥OE．
①求AE的長；
②求二面角A₁-DE-C的正切值；
③求三棱錐M-A₁OE的體積．

Answer 1

分析：①以DA，DC，DD₁為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AE=m（1，5＜m＜3），確定

A1E

、

EO

的坐標(biāo)，利用A₁E⊥OE，即可求得結(jié)論；
②過點(diǎn)A作AH⊥DE，垂足為H，連接A₁H，則∠A₁HA是二面角A₁-DE-A的平面角，由此可求二面角A₁-DE-C的正切值；
③點(diǎn)M是OD的中點(diǎn)，O∈B₁C，且B₁C∥A₁D，利用等體積，可求三棱錐M-A₁OE的體積．

解答：解：①以DA，DC，DD₁為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AE=m（1，5＜m＜3），則A₁（2，0，2），E（2，m，0），O（1，3，1）
∴

A1E

=（0，m，-2），

EO

=（-1，3-m，1）
∵A₁E⊥OE
∴m（3-m）-2=0
∴m²-3m+2=0
∴m=2，即AE=2；
②過點(diǎn)A作AH⊥DE，垂足為H，連接A₁H，則
∵A₁A⊥平面ABCD
∴A₁H⊥DE
∴∠A₁HA是二面角A₁-DE-A的平面角
∵AD=AE=2，∴AH=

2

∴tan∠A₁HA=

2

∵二面角A₁-DE-C是鈍角
∴二面角A₁-DE-C的正切值為-

2

；
③∵點(diǎn)M是OD的中點(diǎn)，O∈B₁C，且B₁C∥A₁D，
∴VM-A1OE=

1

2

VD-A1OE=

1

2

VO-A1DE=

1

2

VC-A1DE=

1

2

VA1-CDE=

1

2

×

1

3

×

1

2

×3×2×2=1

點(diǎn)評(píng)：本題考查面面角，考查三棱錐體積的計(jì)算，考查空間向量知識(shí)的運(yùn)用，屬于中檔題．