Question

某電廠冷卻塔的外形是如圖所示雙曲線的一部分繞其中軸（即雙曲線的虛軸）旋轉(zhuǎn)所成的曲面，其中A、A′是雙曲線的頂點(diǎn)，C、C′是冷卻塔上口直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，B、B′是下底直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，已知AA′=14m，CC′=18m，BB′=22m，塔高20m．
（Ⅰ）建立坐標(biāo)系并寫出該雙曲線方程；
（Ⅱ）求冷卻塔的容積（精確到10m³，塔壁厚度不計(jì)，π取3.14）．

Answer 1

【答案】分析：（I）建立直角坐標(biāo)系xOy，AA′在x軸上，AA′的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，CC′與BB′平行于x軸，設(shè)出B、C的坐標(biāo)，利用B、C在雙曲線上，塔高20m，可得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）利用定積分知識，可求冷卻塔的容積．
解答：解：（I）如圖建立直角坐標(biāo)系xOy，AA′在x軸上，AA′的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，CC′與BB′平行于x軸．
設(shè)雙曲線方程為，則．
又設(shè)B（11，y₁），C（9，y₂），
因?yàn)辄c(diǎn)B、C在雙曲線上，所以有，①，②
由題意知y₂-y₁=20．③
由①、②、③得．
故雙曲線方程為；
（II）由雙曲線方程得．
設(shè)冷卻塔的容積為V（m³），則=，
∴V≈4.25×10³（m³）．
答：冷卻塔的容積為4.25×10³（m³）．
點(diǎn)評：本小題考查選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系建立曲線方程和解方程組等基礎(chǔ)知識，考查應(yīng)用所學(xué)積分知識、思想和方法解決實(shí)際問題的能力．