Question

如圖1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠ABC=60°，E是BC的中點(diǎn)．將△ABE沿AE折起后如圖2，使二面角B﹣AE﹣C成直二面角，設(shè)F是CD的中點(diǎn)，P是棱BC的中點(diǎn)．
（1）求證：AE⊥BD；
（2）求證：平面PEF⊥平面AECD；
（3）判斷DE能否垂直于平面ABC，并說(shuō)明理由。

Answer 1

（1）證明：設(shè)AE中點(diǎn)為M，
∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠ABC=60°，E是BC的中點(diǎn)，
∴△ABE與△ADE都是等邊三角形．
∴BM⊥AE，DM⊥AE．
∵BM∩DM=M，BM、DM平面BDM，
∴AE⊥平面BDM．
∵BD平面BDM，
∴AE⊥BD．
（2）證明：連接CM交EF于點(diǎn)N，
∵M(jìn)E∥FC，ME=FC，
∴四邊形MECF是平行四邊形，
∴N是線段CM的中點(diǎn)．
∵P是BC的中點(diǎn)，
∴PN∥BM．
∵BM⊥平面AECD，
∴PN⊥平面AECD．
又∵PN平面PEF，
∴平面PEF⊥平面AECD．
（3）解：DE與平面ABC不垂直．
證明：假設(shè)DE⊥平面ABC，則DE⊥AB，
∵BM⊥平面AECD，∴BM⊥DE．
∵AB∩BM=B，AB、BM平面ABE，
∴DE⊥平面ABE．
∵AE平面ABE，
∴DE⊥AE，這與∠AED=60°矛盾．
∴DE與平面ABC不垂直．