Question

已知f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，且f（1）=2，任取a、b∈[-1，1]，a+b≠0，都有＞0成立
（1）判斷f（x）的單調(diào)性，并說明理由；     
（2）解不等式f（x）＜
（3）若f（x）≤2m²-2am+3對所有的m∈[0，3]恒成立，求a的范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用題目給出的等式及函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）在保證不等式本身有意義的前提下，運用（1）判明的函數(shù)f（x）的增減性脫掉對應關(guān)系求解不等式；
（3）先求出函數(shù)f（x）在[-1，1]上的最大值，代入不等式后得到新不等式，然后借助于分離變量法求實數(shù)a的取值范圍．
解答：解：（1）取a=x₁，b=-x₂∈[-1，1]，且x₁＞x₂，則x₁-x₂=a+b＞0，
因為f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，則f（a）+f（b）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁）-f（x₂），
所以=，所以f（x₁）＞f（x₂）
所以函數(shù)f（x）是定義在[-1，1]上的增函數(shù)．
（2）因為f（x）是定義在[-1，1]，且函數(shù)f（x）是定義在[-1，1]上的增函數(shù)，
所以?，解得：
所以不等式f（x）＜的解集為[0，）
（3）因為函數(shù)f（x）是定義在[-1，1]上的增函數(shù)，
所以在[-1，1]上函數(shù)f（x）的最大值為f（1）=2，
若f（x）≤2m²-2am+3對所有的m∈[0，3]恒成立，即2≤2m²-2am+3對所有的m∈[0，3]恒成立，
也就是2m²-2am+1≥0恒成立，
分離變量得：恒成立，
因為（當且僅當時取等號）
所以．
所以所求a的范圍是（-∞，]．
點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的結(jié)合，考查了運用單調(diào)性求解不等式的方法，訓練了運用分離變量法求解恒成立的問題，同時訓練了利用基本不等式求函數(shù)的最值，是一個非常好的綜合題．