Question

把自然數(shù)按上小下大、左小右大的原則排成如圖的三角形數(shù)表（每行比上一行多一個(gè)數(shù)）．設(shè)a_ij（i，j∈N^*）是位于這個(gè)三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第i行、從左往右數(shù)的第j個(gè)數(shù)（如a₄₂=8）．
（1）試用i表示a_ii（不要求證明）；
（2）若a_ij=2008，求i，j的值；
（3）記三角形數(shù)表從上往下數(shù)第n行的各數(shù)之和為b_n，令，若數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，求T_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意可知三角形數(shù)表中前n行的個(gè)數(shù)，進(jìn)而可推知第i行的最后一個(gè)數(shù)進(jìn)而可得a_ii．
（2）先求使得i是不等式的最小正整數(shù)解．由，得i²+i-4016≥0進(jìn)而可解得i的范圍確定i的最小值．
（3）先求得前n行的所有自然數(shù)的和進(jìn)而根據(jù)b_n=S_n-S_n-1求得b_n，代入C_n中進(jìn)而通過(guò)裂項(xiàng)法求得T_n．
解答：解：（1）∵三角形數(shù)表中前n行共有個(gè)，
即第i行的最后一個(gè)數(shù)是
∴a_ii=
（2）由題意，先求使得i是不等式的最小正整數(shù)解．
由，得i²+i-4016≥0
∵i∈N^*，∴，∴i=63

（3）前n行的所有自然數(shù)的和為
則，
所以，當(dāng)n≥2時(shí)，，
=
當(dāng)n=1時(shí)，T_n=1也適合，
∴．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的遞推式．?dāng)?shù)列的遞推式是高考中常考的題目，常與求數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和一塊考查，有時(shí)也涉及與函數(shù)、不等式等問(wèn)題，綜合性很強(qiáng)．