Question

設f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，當x∈（0，1]時，f（x）=2tx-4x³（t為常數(shù)）
（1）求f（x）的表達式；
（2）當0＜t≤6時，用定義證明f（x）在[-

6t

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，

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]上單調(diào)遞增；
（3）當t＞6時，是否存在t使f（x）的圖象的最高點落在直線y=12上．若存在，求出t的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）設x∈[-1，0），則-x∈（0，1]，
∴f（-x）=-2tx+4x³，
∵f（x）為定義在R上的奇函數(shù)
∴f（x）=-f（-x）=2tx-4x³，
∴f（x）的表達式為：f（x）=

2tx-4x 3，x∈(0，1] 0．x=0 2tx-4x 3，x∈[-1，0)

．
（2）先設x₁、x₂∈[0，

6t

6

]，令x₁＜x₂，則有x₁-x₂＜0．
f（x₁）-f（x₂）=2tx₁-4x₁³-（2tx₂-4x₂³）
=2t（x₁-x₂）-4（x₁³-x₂³）=（x₁-x₂）[2t+4（x₁²+x₂x₁+x₂²）]
∵x₁、x₁∈[0，

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]，x₁-x₂＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），所以f（x）在[0，

6t

6

]上單調(diào)遞增．
（3）當t＞6時，

6t

6

＞1，由（2）得f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞增，
令f（1）=12，存在t=8，滿足條件．