Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ex﹣ax﹣1（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)a＞0時(shí)，若f（x）≥0對任意的x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅲ）求證： ．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：f′（x）=ex﹣a

∴a≤0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在R上單調(diào)遞增．

a＞0時(shí)，x∈（﹣∞，lna）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，x∈（lna，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ），a＞0時(shí)，f（x）min=f（lna），∴f（lna）≥0

即a﹣alna﹣1≥0，記g（a）=a﹣alna﹣1（a＞0），∵g′（a）=1﹣（lna+1）=﹣lna，∴g（a）在（0，1）上增，在（1，+∞）上遞減，∴g（a）≤g（1）=0

故g（a）=0，得a=1

（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）ex≥x+1，即ln（1+x）≤x（x＞﹣1），則x＞0時(shí)，ln（1+x）＜x

要證原不等式成立，只需證： ＜2，即證： ＜1，

下證 ≤ ﹣ ①

≤

4（32k﹣23k+1）≥332k﹣43k+1

32k﹣43k+3≥0（3k﹣1）（3k﹣3）≥0，

①中令k=1，2，…，n，各式相加，

得 ＜（ ﹣ ）+（ ﹣ ）+…+（ ﹣ ）

= ﹣ ＜1成立，

故原不等式成立．

【解析】（Ⅰ）根據(jù)題意先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，進(jìn)而得到導(dǎo)函數(shù)在各個(gè)區(qū)間的正負(fù)即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中單調(diào)性可得f(x)的極小值，由可知該極小值大于等于零，即可得a的值。
（Ⅲ）根據(jù)已知提供的函數(shù)化為不等式中的元素形式即,根據(jù)（Ⅱ）可知ex≥x+1，即得ln（1+x）＜x，由不等式的放縮法可得不等式的左邊為),因?yàn)榉帜复螖?shù)恰為分子的二倍，將和式放縮為錯(cuò)位相消的形式，進(jìn)而可知放縮為,由此可得證原不等式成立。

【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減．