Question

對于實(shí)數(shù)a和b，定義運(yùn)算“*”：，設(shè)f（x）=（2x-1）*（x-1），且關(guān)于x的方程為f（x）=m（m∈R）恰有三個互不相等的實(shí)數(shù)根x₁，x₂，x₃，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是    ；x₁+x₂+x₃的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：由已知新定義，我們可以求出函數(shù)的解析式，進(jìn)而分析出函數(shù)的兩個極值點(diǎn)，進(jìn)而求出x的方程為f（x）=m（m∈R）恰有三個互不相等的實(shí)數(shù)根時，實(shí)數(shù)m的取值范圍，及三個實(shí)根之間的關(guān)系，進(jìn)而求出x₁+x₂+x₃的取值范圍
解答：解：∵，
∴f（x）=（2x-1）*（x-1）=，
則當(dāng)x=0時，函數(shù)取得極小值0，當(dāng)x=時，函數(shù)取得極大值
故關(guān)于x的方程為f（x）=m（m∈R）恰有三個互不相等的實(shí)數(shù)根x₁，x₂，x₃時，
實(shí)數(shù)m的取值范圍是
令f（x）=，則x=，或x=
不妨令x₁＜x₂＜x₃時
則＜x₁＜0，x₂+x₃=1
∴x₁+x₂+x₃的取值范圍是
故答案為：，
點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是根的存在性及根的個數(shù)判斷，其中根據(jù)已知新定義，求出函數(shù)的解析式，并分析出函數(shù)圖象形狀及性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．