Question

（2013•懷化三模）規(guī)定滿足“f（-x）=-f（x）”的分段函數(shù)叫“對(duì)偶函數(shù)”，已知函數(shù)f（x）=

g(x)(x＜0) x2+4x(x≥0)

是對(duì)偶函數(shù)，則
（1）g（x）=

-x²+4x

．
（2）若f[

n

i

1

i(i+1)

-

m

10

]＞0對(duì)于任意的n∈N°都成立，則m的取值范圍是

m＜5

．

Answer 1

分析：（1）先設(shè)設(shè)x＜0，則-x＞0，代入解析式求出f（-x），再由題意f（-x）=-f（x），求出g（x）；
（2）由（1）求出的解析式，分別求出函數(shù)值的范圍，進(jìn)而把條件轉(zhuǎn)化為f(

n

i

1

i(i+1)

-

m

10

)＞0對(duì)于任意的n∈N°恒成立問題，即

n

i

1

i(i+1)

-

m

10

＞0對(duì)于任意的n∈N°恒成立問題，分離常數(shù)m并把和式展開，利用裂項(xiàng)相消法進(jìn)行化簡(jiǎn)，再求出此式子的最小值即可．

解答：解：（1）由題意設(shè)x＜0，則-x＞0，∴f（-x）=x²-4x，
∵f（-x）=-f（x），∴g（x）=-f（-x）=-x²+4x，
（2）由（1）得，f(x)=

-x2+4x  (x＜0) x2+4x     (x≥0)

，
∴當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=-x²+4x=-（x-2）²+4＜0，
當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x²+4x=（x+2）²-4≥0，
∵f(

n

i

1

i(i+1)

-

m

10

)＞0對(duì)于任意的n∈N°恒成立，
∴條件轉(zhuǎn)化為

n

i

1

i(i+1)

-

m

10

＞0對(duì)于任意的n∈N°恒成立，
即m＜10×

n

i

1

i(i+1)

=10（

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n+1)

）對(duì)于任意的n∈N°成恒立，
令y=10（

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n+1)

），即求y的最小值，
則y=10×[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=10（1-

1

n+1

），
∵1-

1

n+1

≥1-

1

2

=

1

2

，∴y的最小值為5．
綜上可得，m＜5．
故答案為：-x²+4x；m＜5．

點(diǎn)評(píng)：本題以一個(gè)新定義為背景考查了恒成立問題，求和符號(hào)的展開，分離常數(shù)法和裂項(xiàng)相消法求和等，難度較大，考查了分析問題和解決問題的能力．