Question

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂分別為它的左、右焦點(diǎn)，直線x=4為它的一條準(zhǔn)線，又知橢圓C上存在點(diǎn)M，使得，
(1)求橢圓C的方程；
(2)若PQ為過橢圓焦點(diǎn)F₂的弦，且，求△PF₁Q的內(nèi)切圓面積最大時(shí)實(shí)數(shù)λ的值．

Answer 1

解：(1)據(jù)題意，設(shè)橢圓C的方程為，，
∵直線x=4為橢圓C的準(zhǔn)線，
∴，
又，
∴M為橢圓C短軸上的頂點(diǎn)，
∵，
∴，
∴∠F₁MF₂=60°，則△F₁MF₂為等邊三角形，
∴， 故a²=4c=2a，
∴a=2，c=1，
∴b²=a²-c²=2²-1²=3，
∴橢圓C的方程為。
(2)顯然直線PQ不與x軸重合，當(dāng)PQ與x軸垂直，
即直線PQ斜率不存在時(shí)，，
∴；
當(dāng)直線PQ斜率存在時(shí)，設(shè)它的斜率為k，則直線PQ的方程為y=k(x-1)(k≠0)，
代入橢圓C的方程，消去x并整理得：(4k²+3)y²+6ky-9k²=0，
Δ=36k²+36k²(4k²+3)＞0，
設(shè)P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，則，
∴，
設(shè)4k²+3=t，則t＞3，此時(shí)，
又∵F₁到直線PQ的距離，
∴，
，
∴0＜＜3，
綜上，直線PQ與x軸垂直時(shí)，△PF₁Q的面積最大，且最大面積為3，
設(shè)△PF₁Q的內(nèi)切圓半徑為r，
則=4r，
∴，即時(shí)，△PF₁Q的內(nèi)切圓面積最大，
此時(shí)直線PQ的斜率不存在，直線PQ與x軸垂直，
∴，即λ=1。