Question

已知函數(shù)f（x）=e^x+4x-3．
（Ⅰ）求證函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上存在唯一的零點(diǎn)，并用二分法求函數(shù)f（x）零點(diǎn)的近似值（誤差不超過0.2）；（參考數(shù)據(jù)e≈2.7，

e

≈1.6，e^0.25≈1.3，e^0.375≈1.45）；
（Ⅱ）當(dāng)x≥1時(shí)，若關(guān)于x的不等式f（x）≥ax恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：對第（Ⅰ）問要先根據(jù)題意判斷函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性，再有端點(diǎn)的函數(shù)值對比即可獲得解的唯一性，然后再根據(jù)二分法的步驟逐次進(jìn)行范圍縮小，再結(jié)合所給信息即可獲得問題的解答；
對第（Ⅱ）首先將恒成立問題游離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)g(x)=

ex+4x-3

x

的最小值問題即可．

解答：解：（Ⅰ）由f（x）=e^x+4x-3，得f′（x）=e^x+4＞0，
f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，
∵f（0）=-2，f（1）=e+1＞0，f（0）•f（1）＜00，
∴f（x）在[0，1]上存在唯一零點(diǎn)，
取區(qū)間[0，1]作為起始區(qū)間，用二分法逐次計(jì)算如下

由上表可知區(qū)間[0.25，0.5]的長度為0.25，所以該區(qū)間的中點(diǎn)x₂=0.375，到區(qū)間端點(diǎn)距離小于0.2，因此可作為誤差不超過0.2的一個(gè)零點(diǎn)的近似值．
∴函數(shù)f（x）零點(diǎn)的近似值x≈0.375
（Ⅱ）當(dāng)x≥1時(shí)，由f（x）≥ax，即a≤

ex+4x-3

x

，
令g(x)=

ex+4x-3

x

則g′(x)=

ex(x-1)+3

x2

∵x≥1，
∴g′（x）＞0，
∴g（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴g（x）_min=g（1）=e+1，
∴a的取值范圍是a≤e+1．

點(diǎn)評(píng)：此題考查的是二分法求方程的近似解和恒成立的綜合類問題．在解答的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想、二分法的思想、恒成立的思想以及問題轉(zhuǎn)化的思想．值得同學(xué)們體會(huì)反思．