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        1. 已知某橢圓的焦點是F1(-4,0)、F2(4,0),過點F2并垂直于x軸的直線與橢圓的一個交點為B,且|F1B|+|F2B|=10.橢圓上不同的兩點Ax1,y1)、Cx2,y2)滿足條件:|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數(shù)列.

          (Ⅰ)求該橢圓的方程;

          (Ⅱ)求弦AC中點的橫坐標;

          (Ⅲ)設(shè)弦AC的垂直平分線的方程為ykxm,求m的取值范圍.

          答案:
          解析:

          (Ⅰ)解:由橢圓定義及條件知

          2a=|F1B|+|F2B|=10,得a=5,又c=4

          所以b==3.

          故橢圓方程為=1.

          (Ⅱ)由點B(4,yB)在橢圓上,得    

          |F2B|=|yB|=.(如圖)

          因為橢圓右準線方程為x=,離心率為

          根據(jù)橢圓定義,有|F2A|=x1),|F2C|=x2

          由|F2A|,|F2B|,|F2C|成等差數(shù)列,得

          x1)+x2)=2×

          由此得出x1+x2=8.

          設(shè)弦AC的中點為Px0,y0

          x0==4.

          (Ⅲ)由Ax1y1),Cx2,y2)在橢圓上,得

            
               

          ④⑤

               
           

          由④-⑤得

          9(x12x22)+25(y12y22)=0.

          =0(x1x2

          k≠0)代入上式,得

          9×4+25y0(-)=0(k≠0).

          由上式得k=y0(當k=0時也成立).

          由點P(4,y0)在弦AC的垂直平分線上,得y0=4k+m.

          所以m=y0-4k=y0y0=-y0.

          P(4,y0)在線段BB′(B′與B關(guān)于x軸對稱,如圖)的內(nèi)部,得-y0.

          所以-m.


          練習冊系列答案
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          (1)求橢圓的方程;

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