Question

設(shè)a∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)f（x）=

(-2x3+3ax2+6ax-4a2-6a)•ex，x≤1 [(6a-1)lnx+x+ a x +15a]•e，x＞1

（Ⅰ）當a=0時，求f（x）在x=e處的切線方程；
（Ⅱ）當a＜-1時，是否存在a使f（x）在[a，-a]上為減函數(shù)，若存在，求實數(shù)a的范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）把a=0代入第二段函數(shù)，求導后得到函數(shù)在x=e處的導數(shù)，再求出f（e），然后由直線方程的點斜式得切線方程；
（Ⅱ）分別對兩段函數(shù)在[a，1]上和[1，-a]上求導，由導函數(shù)小于0得a的范圍，再由x=1時上段函數(shù)的函數(shù)值大于等于下段函數(shù)的函數(shù)值求得a的范圍，最后去交集得答案．

解答： 解：（Ⅰ）當a=0時，f（x）=（-lnx+x）•e，x＞1．
∴f′(x)=(1-

1

x

)•e，
則f′（e）=e-1．
又f（e）=e²-e．
∴y-e²+e=（e-1）（x-e），
整理得：（e-1）x-y=0；
（Ⅱ）當a＜-1時，-a＞1，則區(qū)間[a，-a]的左端點小于-1，右端點大于1，
要使f（x）在[a，-a]上為減函數(shù)，
即f（x）=（-2x³+3ax²+6ax-4a²-6a）•e^x  ①在[a，1]上為減函數(shù)，
f(x)=[(6a-1)lnx+x+

a

x

+15a]•e  ②在[1，-a]上為減函數(shù)，
且（-2+3a+6a-4a²-6a）•e≥（1+a+15a）•e  ③．
解③得：-3≤a≤-

1

4

．
對①求導得：f′（x）=[-2x³+（3a-6）x²+12ax-4a²]•e^x，
要使f′（x）≤0在[a，1]上成立，
則g（x）=-2x³+（3a-6）x²+12ax-4a²≤0在[a，1]上成立，
由g′（x）=-6x²+（6a-12）x+12a=0，得x=a或x=-2．
當a≥-2時，g（x）在[a，1]上為減函數(shù)，
由g（a）=-2a³+3a³-6a²+12a²-4a²=a³+2a²≤0，
得a≤-2，
∴a=-2．
當a＜-2時，g（x）在[a，1]上的最大值為g（-2）=16+12a-24-24a-4a²=-4a²-12a-8．
由g（-2）≤0，解得：a≤-2或a≥-1．
∴a＜-2．
對②求導得：f′(x)=(

6a-1

x

+1-

a

x2

)•e=

x2+(6a-1)x-a

x2

•e．
要使f′（x）≤0在[1，-a]上成立，
則h（x）=x²+（6a-1）x-a≤0在[1，-a]上成立，
即

1+6a-1-a≤0 a2-6a2+a-a≤0

，解得：a≤0．
綜上，存在實數(shù)a∈[-3，-2]，使f（x）在[a，-a]上為減函數(shù)．

點評：本題考查利用導數(shù)研究曲線上某點處的切線方程，考查了分段函數(shù)的單調(diào)性的判斷，考查了學生的計算能力，是壓軸題．