Question

已知直線l：（k-1）x+（2k+1）y=2k+1和圓C：（x-1）²+（y-2）²=16．
（Ⅰ）求證：無(wú)論k取何值，直線l與圓C都相交；
（Ⅱ）求直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)的最小值和弦長(zhǎng)取得最小值時(shí)實(shí)數(shù)k的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直線l解析式變形后，得到恒過(guò)（0，1），求出此點(diǎn)到圓心的距離d小于r，即此點(diǎn)在圓內(nèi)，即可得到無(wú)論k取何值，直線l與圓C都相交；
（Ⅱ）設(shè)直線l與圓C相交于A、B兩點(diǎn)，圓心C（1，2）到直線l的距離為d，圓C半徑為r，則d²+（

1

2

|AB|）²=r²，要使|AB|最小，當(dāng)r=4時(shí)，只需d最大即可，求出d的最大值，確定出|AB|的最小值，以及此時(shí)k的值即可．

解答：解：（Ⅰ）∵直線l變形得：（x+2y-2）k=x-y+1，
由

x+2y-2=0 x-y+1=0

，解得：

x=0 y=1

，
∴直線l恒過(guò)定點(diǎn)M（0，1），
∵（0-1）²+（1-2）²=2＜16，
∴（0，1）在圓C內(nèi)部，
則無(wú)論k取何值，直線l與圓C都相交；
（Ⅱ）設(shè)直線l與圓C相交于A、B兩點(diǎn)，圓心C（1，2）到直線l的距離為d，圓C半徑為r，
則d²+（

1

2

|AB|）²=r²，要使|AB|最小，當(dāng)r=4時(shí)，只需d最大即可，
∵d≤|CM|，∴當(dāng)d=|CM|=

2

時(shí)，|AB|最小，
此時(shí)2+（

1

2

|AB|）²=16，即|AB|_min=2

14

，
當(dāng)弦長(zhǎng)|AB|_min=2

14

時(shí)，直線AB⊥CM，
∵直線CM斜率為1，∴此時(shí)直線l斜率k=-1．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有：恒過(guò)定點(diǎn)的直線方程，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，垂徑定理，勾股定理，以及兩直線垂直時(shí)斜率滿足的關(guān)系，弄清題意是解本題的關(guān)鍵．