Question

設函數(shù)f（x）=2sin（x-

π

3

）cosx．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）討論f（x）在[0，

π

2

]的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，整理后再利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡為一個角的正弦函數(shù)，找出ω的值，代入周期公式即可求出f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性列出關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集確定出f（x）的單調(diào)區(qū)間，即可得出f（x）在[0，

π

2

]的單調(diào)性．

解答：解：（I）f（x）=2（

1

2

sinx-

3

2

cosx）cosx=sinxcosx-

3

cos²x=

1

2

sin2x-

3

2

cos2x-

3

2

=sin（2x-

π

3

）-

3

2

，
∵ω=2，∴T=π，即f（x）的最小正周期為π；
（II）由2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
可得kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，k∈Z，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
由2kπ+

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，
可kπ+

5π

12

≤x≤kπ+

11π

12

，k∈Z，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
即函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，k∈Z，
單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ+

5π

12

，kπ+

11π

12

]，k∈Z，
∵x∈[0，

π

2

]，
∴當k=0時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[0，

5π

12

]，單調(diào)遞增區(qū)間為[

5π

12

，

π

2

]，
則f（x）在[0，

5π

12

]上是減函數(shù)，在[

5π

12

，

π

2

]上是增函數(shù)．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，三角函數(shù)的周期性及其求法，以及正弦函數(shù)的單調(diào)性，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．