Question

已知函數(shù)f（x）=

a(1-x)

x

ln（1-x）（a∈R），e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（1）求f（x）在區(qū)間[1-e²，1-e]上的最值；
（2）若n≥2（n∈N^*），試比較(1+

1

2!

) (1+

1

3!

) …(1+

1

n!

)與e的大小，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)為0時(shí)，求出函數(shù)的增減區(qū)間，即可求最值；
（2）對(duì)a分情況討論，通過放縮不等式，使不等式變成已有的簡(jiǎn)單式子進(jìn)行證明．

解答：解：（1）f，′(x)=

a

x2

[x+ln(1-x)]，設(shè)h（x）=x+ln（1-x），x∈R，
則h′(x)=

ax

x-1

，即h（x）在（-∞，0]上遞增，故h（x）＜h（0）=a，
即對(duì)x∈[1-e²，1-e]，有h（x）＜a．
①當(dāng)a＞0，有f（x）＞0，f（x）在[1-e²，1-e]上遞增
故f(x)max=f(1-e)=

ae

1-e

，f(x)min=f(1-e2)=

ae2

1-e2

．
②當(dāng)a＜0，有f（x）＜0，f（x）在[1-e²，1-e]上遞減，
故f(x)min=f(1-e)=

ae

1-e

，f(x)max=f(1-e2)=

ae2

1-e2

．
③當(dāng)a=0，有f（x）=0，f（x）_min=f（x）_max=0．
（2）若n≥2（n∈N^*），猜想：(1+

1

2!

) (1+

1

3!

) …(1+

1

n!

)＜e．
證明如下：據(jù)（1）知當(dāng)x≤0時(shí)恒有h（x）≤0，即ln（1-x）≤-x
故ln(1+

1

2!

) (1+

1

3!

) …(1+

1

n!

)=ln(1+

1

2!

) +ln(1+

1

3!

) +…+ln(1+

1

n!

)
＜

1

2!

+

1

3!

…

1

n!

＜ 

1

1×2

+

1

2×3

…+

1

(n-1)×n

＜1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-…+

1

n-1

-

1

n

＜e
故(1+

1

2!

) (1+

1

3!

) …(1+

1

n!

)＜e．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求最值以及不等式的證明，不等式的合理放縮是解題的關(guān)鍵．