Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）＝|x－1|＋|2x－1|．

（Ⅰ）若對(duì)x＞0，不等式f（x）≥tx恒成立，求實(shí)數(shù)t的最大值M；

（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的條件下，正實(shí)數(shù)a，b滿足a2＋b2＝2M．證明：a＋b≥2ab．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）M＝1 （Ⅱ）見解析

【解析】試題分析：（Ⅰ） 恒成立，采用變量分離，轉(zhuǎn)化為，利用絕對(duì)值三角不等式得解（Ⅱ）利用重要不等式a2＋b2≥2ab得出ab≤1，再用得解

試題解析：（Ⅰ）解： 恒成立

∵，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，

∴t≤1，∴M＝1．

（Ⅱ）證明：∵a2＋b2≥2ab，∴ab≤1．

∴．（當(dāng)且僅當(dāng)“a＝b”時(shí)取等號(hào)）①

又∵，∴．

∴，（當(dāng)且僅當(dāng)“a＝b”時(shí)取等號(hào)）②

由①、②得．（當(dāng)且僅當(dāng)“a＝b”時(shí)取等號(hào)）

∴a＋b≥2ab．