Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足2S_n-3a_n+2n=0（其中n∈N^*）．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若，且T_n=b₁+b₂+…+b_n，求T_n；
（Ⅲ）設(shè)，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為M_n，求證：．

Answer 1

（Ⅰ）證明：∵2S_n-3a_n+2n=0①，
∴2S_n+1-3a_n+1+2（n+1）②，
②-①得：2a_n+1-3（a_n+1-a_n）+2=0，
∴a_n+1=3a_n+3．
∴a_n+1+1=3（a_n+1），
∴=3，
又2a₁-3a₁+2=0，故a₁=2，a₁+1=3，
∴數(shù)列{a_n+1}是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，
∴a_n+1=3•3^n-1=3ⁿ，
∴a_n=3ⁿ-1．
（Ⅱ）∵b_n===，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=+++…+，③
T_n=++…++④
③-④得：T_n=++…+-=-，
∴T_n=-•．
（Ⅲ）∵
=+
=+
=2-+．
∴M_n=c₁+c₂+…+c_n=2n-[（-）+（-）+…+（-）]．
∵＜，＞，-＜-，
∴-＜-，⑤
同理-＜-，⑥
…
-＜-⑦
∴（-）+（-）+…+（-）＜-＜
∴-[（-）+（-）+…+（-）]＞-
∴M_n＞2n-．
分析：（Ⅰ）由2S_n-3a_n+2n=0①，可得2S_n+1-3a_n+1+2（n+1）②，由①②即可證得數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求得b_n=，利用錯(cuò)位相減法即可求得T_n；
（Ⅲ）可求得c_n═2-+，M_n=c₁+c₂+…+c_n=2n-[（-）+（-）+…+（-）]．利用放縮法與累加法即可證明結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與不等式的綜合，著重考查等比關(guān)系的確定于數(shù)列的求和，突出錯(cuò)位相減法與放縮法、累加法的應(yīng)用，綜合題性強(qiáng)，屬于難題．