Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面，，，，，二面角為，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且

（1）求證：四邊形為直角梯形；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）通過證明，且可得四邊形為直角梯形；

（2）過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，則，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出面和面的法向量，求出法向量的夾角即可得二面角的余弦值.

（1）證明：因?yàn)?/span>平面，，

所以

因?yàn)?/span>，且，

所以四邊形為直角梯形；

（2）過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，則，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，

由（1）知，又，則為二面角的平面角，則，，

所以，，

所以，，，

所以，

，

設(shè)平面的法向量，則，即

令：，則，，所以，

又平面的法向量，

所以，

由題意知二面角為鈍角，

所以二面角的余弦值為.