Question

 (本小題14分)  如圖，在四棱錐中，底面是矩形．已知．

（Ⅰ）證明平面；

（Ⅱ）求異面直線與所成的角的余弦值；

（Ⅲ）求二面角的大小余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）證明：在中，由題設(shè)可得

于是.在矩形中，.又，

所以平面．

（Ⅱ）解：由題設(shè)，，所以（或其補(bǔ)角）是異面直線與所成的角.

在中，由余弦定理得

由（Ⅰ）知平面，平面，

所以，因而，于是是直角三角形，故．

所以異面直線與所成的角的余弦值為．

（Ⅲ）解：過點(diǎn)P做于H，過點(diǎn)H做于E，連結(jié)PE

因?yàn)?img width=43 height=17 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/0688/454/137954.gif" >平面，平面，所以.又，

因而平面，故HE為PE再平面ABCD內(nèi)的射影.由三垂線定理可知，

，從而是二面角的平面角。

由題設(shè)可得，

于是在中，，所以二面角的余弦值為．