Question

為了參加學校冬季田徑運動會100米比賽，某班50名學生進行了一次百米測試，以便進行報名選拔，該50名學生的測試成績全部介于13秒與18秒之間，將測試結果按如下方式分成五組：第一組[13，14），第二組[14，15），…，第五組[17，18]，下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．
（1）若成績大于或等于14秒且小于16秒認為良好，求該班在這次百米測試中成績良好的人數；
（2）若從第一、五組中隨機取出兩個成績，求這兩個成績的差的絕對值大于1的概率．

Answer 1

【答案】分析：（1）由頻率分布直方圖得到成績在[14，15）和[15，16）內的頻率，然后用50分別乘以兩組的頻率作和可得該班在這次百米測試中成績良好的人數；
（2）由頻率分布直方圖得到成績在[13，14）和[17，18]內的頻率，然后用50分別乘以兩組的頻率可得第一、五組中的學生數，分別設出兩組中的學生的成績，然后用枚舉法寫出從第一、五組中隨機取出兩個成績的總的取法種數N，找出取出的兩個成績的差的絕對值大于1的取法種數n，則從第一、五組中隨機取出兩個成績，這兩個成績的差的絕對值大于1的概率p=．
解答：解：（1）由頻率分布直方圖知，成績在[14，15）內的頻率為：0.16×1=0.16，
成績在[15，16）內的頻率為：0.38×1=0.38，
所以，成績在[14，16）內的人數為：50×0.16+50×0.38=27（人），
所以該班成績良好的人數為27人．
（2）由頻率分布直方圖知，成績在[13，14）的人數為50×0.06×1=3（人），
并設該三人的成績分別為x、y、z；
成績在[17，18]的人數為50×0.08×1=4（人），
并設該四人的成績分別為A、B、C、D；
則從第一、五組中隨機取出兩個成績的總的取法種數為：xy，xz，yz，AB，AC，AD，BC，BD，CD，xA，xB，xC，xD，
yA，yB，yC，yD，zA，zB，zC，zD共21（種）．
取出的兩個成績的差的絕對值大于1的取法種數為：xA，xB，xC，xD，yA，yB，yC，yD，zA，zB，zC，zD共12（種）．
則從第一、五組中隨機取出兩個成績，這兩個成績的差的絕對值大于1的概率為．
點評：本題考查了頻率分布直方圖，考查了古典概型及其概率計算公式，解答此題的兩個關鍵點是：一、明確頻率分布直方圖中縱軸的單位；二、古典概型及其概率的計算．解答（2）時除了枚舉法之外，也可運用排列組合知識求解．此題屬中低檔題．