Question

甲、乙、丙三人在同一個(gè)辦公室，辦公室只有一部電話(huà)機(jī)，設(shè)經(jīng)該打進(jìn)的電話(huà)是打給甲、乙、丙的概率分別為

1

6

，

1

3

，

1

2

，若在一段時(shí)間內(nèi)打進(jìn)3個(gè)電話(huà)，且各個(gè)電話(huà)相互獨(dú)立．
（Ⅰ）求這三個(gè)電話(huà)是打給同一人的概率；
（Ⅱ）求這三個(gè)電話(huà)中恰有兩上是打給乙的概率；
（Ⅲ）設(shè)三個(gè)電話(huà)中打給乙與丙的個(gè)數(shù)差的絕對(duì)值為X，求X的分布列和E（X）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）三個(gè)電話(huà)是打給同一個(gè)人的包括打給甲的，打給乙的，打給丙的，因各個(gè)電話(huà)相互獨(dú)立且前面所說(shuō)的三件事不可能同時(shí)發(fā)生，由互斥事件和相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式得到結(jié)果．
（Ⅱ）三個(gè)電話(huà)有兩個(gè)是打給乙的，打給甲的概率是

1

6

，三次試驗(yàn)打給甲發(fā)生了兩次，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)公式得到結(jié)果．
（Ⅲ）X的取值分別為0，1，2，3，然后分別求出X相應(yīng)的概率，列出分布列，最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式進(jìn)行求解即可．

解答：解：（Ⅰ）由互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率公式和獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式，
所求概率為：p=(

1

6

)3+(

1

3

)3+(

1

2

)3=

1

6

．
（Ⅱ）這是n=3，p=

1

3

的獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，
故所求概率為：P3(2)=

C

2 3

(

1

3

)2(

2

3

)=

2

9

．
（Ⅲ）X的取值分別為0，1，2，3
P（X=0）=(

1

6

)3+A₃³

1

6

×

1

3

×

1

2

=

37

216

  P（X=1）=3（

1

6

×

1

6

×

1

3

+

1

6

×

1

6

×

1

2

+

1

3

×

1

3

×

1

2

+

1

3

×

1

2

×

1

2

）=

105

216

P（X=2）=3（

1

6

×

1

3

×

1

3

+

1

6

×

1

2

×

1

2

）=

39

216

  P（X=3）=

1

3

× 

1

3

× 

1

3

+

1

2

×

1

2

×

1

2

=

35

216

X	0	1	2	3
P	37 216	105 216	39 216	35 216

∴E（X）=1×

105

216

+2×

39

216

+3×

35

216

=

288

216

=

4

3

點(diǎn)評(píng)：解題時(shí)抓住獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的特點(diǎn)：試驗(yàn)是在同樣條件下進(jìn)行的，各次之間相互獨(dú)立的一種試驗(yàn)，要熟練應(yīng)用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的公式解決問(wèn)題，這是高考題中會(huì)出到的一種題型．