Question

已知拋物線C：x²=4y的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F作直線l交拋物線C于A、B兩點(diǎn)；橢圓E的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，點(diǎn)F是它的一個(gè)頂點(diǎn)，且其離心率e=

3

2

．
（1）經(jīng)過A、B兩點(diǎn)分別作拋物線C的切線l₁，l₂，切線l₁與l₂相交于點(diǎn)M．證明：

MF

•

MA

=

MF

•

MB

；
（2）橢圓E上是否存在一點(diǎn)M'，經(jīng)過點(diǎn)M'作拋物線C的兩條切線M'A'，M'B'（A'，B'為切點(diǎn)），使得直線A'B'過點(diǎn)F？若存在，求出拋物線C與切線M'A'，M'B'所圍成圖形的面積；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）聯(lián)立

y=kx+1 x2=4y

，得x²-4kx-4=0，x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，由拋物線C的方程為y=

1

4

x2，知y′=

1

2

x，過拋物線上A、B兩點(diǎn)的切線方程分別是y-y1=

1

2

x1(x-x1)，y-y2=

1

2

x2(x-x2)，由此能夠求

FM

•

MA

=

MF

•

MB

．
（2）設(shè)橢圓E的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a+b＞0)，半焦距為c，

b=1 c a = 3 2 a2=b2+c2

，解得a=2，b=1，所以橢圓E的方程是

x2

4

+y2 =1．假設(shè)存在點(diǎn)M‘滿足題意，點(diǎn)M’心在直線y=-1上，由此能夠求出拋物線C與切線M′A′，M′B′所圍成圖形的面積是S=2

∫

2 0

[

1

4

x2-(x-1)] dx=

1

2

(

1

12

x3-

1

2

x2+x)

|

2 0

=

4

3

．

解答：解：（1）聯(lián)立

y=kx+1 x2=4y

，得x²-4kx-4=0，
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，
∵拋物線C的方程為y=

1

4

x2，∴y′=

1

2

x，
∴過拋物線上A、B兩點(diǎn)的切線方程分別是
y-y1=

1

2

x1(x-x1)，y-y2=

1

2

x2(x-x2)，
即y=

1

2

x1 x-

1

4

x12，y=

1

2

x2x-

1

4

x22，
解得兩條切線l₁，l₂的交點(diǎn)坐標(biāo)為(

x1+x2

2

，

x1x2

4

)，即M（2k，-1），
要證

MF

•

MA

=

MF

•

MB

，即證

MF

•(

MB

-

MA

) =

MF

•

AB

=0，
∵

FM

•

AB

=(2k，-2)•(x2-x1，y2-y1)
=2k(x2-x1)-

(x2+x1)(x2-x2)

2

=0，∴

FM

•

MA

=

MF

•

MB

．
（2）設(shè)橢圓E的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a+b＞0)，半焦距為c，

b=1 c a = 3 2 a2=b2+c2

，解得a=2，b=1，
∴橢圓E的方程是

x2

4

+y2 =1．
假設(shè)存在點(diǎn)M‘滿足題意，由（1）知，點(diǎn)M’心在直線y=-1上，
又直線y=-1與橢圓E有唯一交點(diǎn)，故M‘（0，-1）．
設(shè)過點(diǎn)M’且與拋物線C相切的切線方程這：y-y0=

1

2

x0(x-x0)，
其中點(diǎn)（x₀，y₀）為切點(diǎn)，
令x=0，y=-1，得-1-

1

4

x02=

1

2

x0(0-x0)，
解得x₀=2或x₀=-2．
取A‘（-2，1），B’（2，1）即直線A‘B’過點(diǎn)F，
綜上所述，橢圓E上存在一點(diǎn)M‘（0，-1），經(jīng)過點(diǎn)M′作拋物線C的兩條切線M′A′，M′B′（A′，B′為切點(diǎn)），
此時(shí)，兩條切線分別為y=-x-1，y=x-1．
拋物線C與切線M′A′，M′B′所圍成圖形的面積是S=2

∫

2 0

[

1

4

x2-(x-1)] dx=

1

2

(

1

12

x3-

1

2

x2+x)

|

2 0

=

4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．