Question

設(shè)有一顆彗星沿一橢圓軌道繞地球運(yùn)行，地球恰好位于橢圓軌道的焦點(diǎn)處，當(dāng)此彗星離地球相距m萬(wàn)千米和

4

3

m萬(wàn)千米時(shí)，經(jīng)過(guò)地球和彗星的直線與橢圓的長(zhǎng)軸夾角分別為

π

2

和

π

3

，求該彗星與地球的最近距離．

Answer 1

分析：仔細(xì)分析題意，由橢圓的幾何意義可知：只有當(dāng)該彗星運(yùn)行到橢圓的較近頂點(diǎn)處時(shí)，彗星與地球的距離才達(dá)到最小值即為a-c，這樣把問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為求a，c或a-c．

解答：解：建立如圖所示直角坐標(biāo)系，設(shè)地球位于焦點(diǎn)F（-c，0）處，
橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，
當(dāng)過(guò)地球和彗星的直線與橢圓的長(zhǎng)軸夾角為

π

3

時(shí)，
由橢圓的幾何意義可知，彗星A只能滿足∠xFA=

π

3

（或∠xFA′=

π

3

）．
作AB⊥Ox于B，則|FB|=

1

2

|FA|=

2

3

m，
故由橢圓的第二定義可得
m=

c

a

（

a2

c

-c），①

4

3

m=

c

a

（

a2

c

-c+

2

3

m）．②
兩式相減得

1

3

m=

c

a

•

2

3

m，∴a=2c．
代入①，得m=

1

2

（4c-c）=

3

2

c，
∴c=

2

3

m．∴a-c=c=

2

3

m．
答：彗星與地球的最近距離為

2

3

m萬(wàn)千米．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的定義，本題的實(shí)際意義是求橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，一般的思路：由直線與橢圓的關(guān)系，列方程組解之；或利用定義法抓住橢圓的第二定義求解．同時(shí)，還要注意結(jié)合橢圓的幾何意義進(jìn)行思考．