Question

已知m∈R，函數(shù)f（x）=（x²+mx+m）•e^x．
（1）若函數(shù)f（x）沒有零點，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）當m＞2時，求函數(shù)f（x）的極大值．

Answer 1

分析：（1）給出的函數(shù)是一個二次三項式和一個指數(shù)式的乘積，指數(shù)式恒大與0，要使原函數(shù)沒有零點，只需要二次三項式對應(yīng)的二次方程的判別式小于0即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由m＞2，得-m＜-2，由導(dǎo)函數(shù)的兩個零點-m，-2把函數(shù)的定義域分段，借助于二次函數(shù)判斷導(dǎo)函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的符號，從而得到原函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的增減性，得到極大值點，把極大值點的橫坐標代入原函數(shù)求得函數(shù)的極大值．

解答：解：（1）令f（x）=（x²+mx+m）•e^x=0．
∵e^x＞0，∴x²+mx+m=0．
∵函數(shù)f（x）沒有零點，∴方程x²+mx+m=0無實根．
則△=m²-4m＜0，解得：0＜m＜4．
所以函數(shù)f（x）沒有零點的實數(shù)m的取值范圍是（0，4）；
（2）由f（x）=（x²+mx+m）•e^x．
得：f^′（x）=（2x+m）e^x+（x²+mx+m）e^x
=（x²+2x+mx+2m）e^x=（x+2）（x+m）e^x．
令f^′（x）=0，得：x=-2或x=-m．
當m＞2時，-m＜-2．
所以，當x∈（-∞，-m）時，f^′（x）＞0，函數(shù)f（x）為增函數(shù)；
當x∈（-m，-2）時，f^′（x）＜0，函數(shù)f（x）為減函數(shù)；
當x∈（2，+∞）時，f^′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；
所以，當x=-m時，f（x）取得極大值，極大值為f（-m）=[（-m）²+m•（-m）+m]e^-m=me^-m．

點評：本題考查了函數(shù)零點的判斷，考查了利用函數(shù)導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，連續(xù)函數(shù)在定義域內(nèi)的某點處，左右兩側(cè)的單調(diào)性不同，則該點為函數(shù)的極值點，先增后減為極大值點，先減后增為極小值點．此題是中檔題．