Question

已知實(shí)軸長(zhǎng)為2a，虛軸長(zhǎng)為2b的雙曲線S的焦點(diǎn)在x軸上，直線y=+x是雙曲線S的一條漸近線，而且原點(diǎn)O，點(diǎn)A（a，0）和點(diǎn)B（0，-b）使等式成立，
（Ⅰ）求雙曲線S的方程；
（Ⅱ）若雙曲線S上存在兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線l：y=kx+4對(duì)稱，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。

Answer 1

解：（Ⅰ）根據(jù)題意設(shè)雙曲線S的方程為，
且，解方程組得，
∴所求雙曲線的方程為。 
（Ⅱ）當(dāng)k=0時(shí)，雙曲線S上顯然不存在兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線l：y=kx+4對(duì)稱；
當(dāng)k≠0時(shí)，設(shè)又曲線S上的兩點(diǎn)M、N關(guān)于直線l對(duì)稱，
由l⊥MN，直線MN的方程為，
則M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組，
消去y得，
顯然，
∴，
即，
設(shè)線段MN中點(diǎn)為，
則，
∵在直線l：y=kx+4上，
∴，即，
∴，∴，解得m＞0或m＜-1，
∴或，
∴或，即或，且k≠0，
∴k的取值范圍是。