Question

已知拋物線的頂點在坐標原點O，焦點F在x軸正半軸上，傾斜角為銳角的直線l過F點，設直線l與拋物線交于A、B兩點，與拋物線的準線交于M點，=λ（λ＞0）
（1）若λ=1，求直線l斜率
（2）若點A、B在x軸上的射影分別為A₁，B₁且||，||，2||成等差數列求λ的值
（3）設已知拋物線為C1：y²=x，將其繞頂點按逆時針方向旋轉90°變成C₁^′．圓C2：x²+（y-4）=1的圓心為點N．已知點P是拋物線C₁^′上一點（異于原點），過點P作圓C2的兩條切線，交拋物線C^′₁于T，S，兩點，若過N，P兩點的直線l垂直于TS，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）先確定p=λ（x₂-），進而求出B的坐標，即可求直線l的斜率；
（2）直線方程代入拋物線方程，求得A₁、B₁的橫坐標，根據||，||，2||成等差數列，可得2||=||+2||，從而可得x₂-2x₁=，由此可求λ的值；
（3）設過點P的圓C₂的切線方程，可得PS，PT的斜率是方程的兩根，利用韋達定理及向量的數量積，即可得到結論．
解答：解：依題意設拋物線方程為y²=2px（p＞0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l的斜率為k，k＞0，M的縱坐標為y，
則F（，0）準線方程為x=-
直線l的方程為y=k（x-），M（-，y），y₂＞0
∵=λ，∴（p，-y）=λ（x₂-，y），故p=λ（x₂-）
（1）若λ=1，由p=λ（x₂-），y₂²=2px₂，y₂＞0，得x₂=，y₂=p，
∴B（，p）
∴直線l的斜率k==；
（2）直線l的方程代入y²=2px，消去y，可得k²x²-（k²p+2p）x+=0，則x₁x₂=
∵，∴=
∵||，||，2||成等差數列
∴2||=||+2||，
∴
∴x₂-2x₁=
將和代入上式得，∴λ=2；
（3）設P（x，x²），S（x₁，x₁²），T（x₂，x₂²），由題意得x≠0，x≠±1，x₁≠x₂．
設過點P的圓C₂的切線方程為y-x²=k（x-x），即y=kx-kx+x²．①
則=1，
即（x²-1）k²+2x（4-x²）k+（x²-4）²-1=0．
設PS，PT的斜率為k₁，k₂（k₁≠k₂），則k₁，k₂是上述方程的兩根，所以
k₁+k₂=，k₁k₂=．
將①代入y=x²，得x²-kx+kx-x²=0，
由于x是此方程的根，故x₁=k₁-x，x₂=k₂-x，
所以=x₁+x₂=k₁+k₂-2x=-2x，k_NP=．
由MP⊥AB，得k_NP•k_ST=[-2x]•=-1，解得x²=，
即點P的坐標為（，），所以直線l的方程為．
點評：本題考查直線與拋物線的位置關系，考查等差數列的性質，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．