Question

已知A，B分別是直線y=x和y=-x上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段AB的長(zhǎng)為2，D是AB的中點(diǎn)．
（1）求動(dòng)點(diǎn)D的軌跡C的方程；
（2）若過(guò)點(diǎn)（1，0）的直線l與曲線C交于不同兩點(diǎn)P、Q，
①當(dāng)|PQ|=3時(shí)，求直線l的方程；
②試問(wèn)在x軸上是否存在點(diǎn)E（m，0），使•恒為定值？若存在，求出E點(diǎn)的坐標(biāo)及定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)D（x，y），A（a，a），B（b，-b），然后根據(jù)線段AB的長(zhǎng)為2，D是AB的中點(diǎn)消去a與b，得到x與y的等量關(guān)系，即為動(dòng)點(diǎn)D的軌跡C的方程；
（2）①討論直線l與x軸是否垂直，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式建立等式關(guān)系，從而求出直線方程；
②討論直線l的斜率是否存在，不存在時(shí)直接求•，存在時(shí)，將直線與圓聯(lián)立方程組，消去y，然后設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），將•表示出來(lái)，使其與k無(wú)關(guān)即可求出m的值．
解答：解：（1）設(shè)D（x，y），A（a，a），B（b，-b），
∵D是AB的中點(diǎn)，∴x=，y=，
∵|AB|=2，∴（a-b）²+（a+b）²=12，
∴（2y）²+（2x）²=12，∴點(diǎn)D的軌跡C的方程為x²+y²=3．
（2）①當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，P（1，），Q（1，-），此時(shí)|PQ|=2，不符合題意；
當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），由于|PQ|=3，所以圓心C到直線l的距離為，
由=，解得k=±．故直線l的方程為y=±（x-1）．
②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其斜率為k，則l的方程為y=k（x-1），
由消去y得（k²+1）x²-2k²x+k²-3=0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）則由韋達(dá)定理得x₁+x₂=，x₁x₂=，
則=（m-x₁，-y₁），=（m-x₂，-y₂），
∴•=（m-x₁）（m-x₂）+y₁y₂=m²-m（x₁+x₂）+x₁x₂+y₁y₂
=m²-m（x₁+x₂）+x₁x₂+k²（x₁-1）（x₂-1）
=m²-++k² （-+1）=
要使上式為定值須=1，解得m=1，∴•為定值-2，
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)P（1，），Q（1，-），
由E（1，0）可得=（0，-），=（0，），
∴•=-2，
綜上所述當(dāng)E（1，0）時(shí)，•為定值-2．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了向量在幾何中的應(yīng)用，以及軌跡問(wèn)題和直線和圓的方程的應(yīng)用，同時(shí)考查轉(zhuǎn)化的思想和計(jì)算的能力，屬于中檔題．