Question

已知圓內(nèi)一定點(diǎn)A（1，﹣2），P，Q為圓上的兩不同動(dòng)點(diǎn)．
（1）若P，Q兩點(diǎn)關(guān)于過定點(diǎn)A的直線l對(duì)稱，求直線l的方程；
（2）若圓O₂的圓心O₂與點(diǎn)A關(guān)于直線x+3y=0對(duì)稱，圓O₂與圓O₁交于M，N兩點(diǎn)，且，求圓O₂的方程．

Answer 1

解：（1）將圓O₁的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：x²+（y+1）²=4，
∴O₁（0，﹣1），又P，Q兩點(diǎn)關(guān)于過定點(diǎn)A的直線l對(duì)稱，
∴O₁（0，﹣1）在直線l上，又直線l過A（1，﹣2），
∴直線l的方程為y+2=（x﹣1），即x+y+1=0；
（2）設(shè)O₂（a，b），
∵O₂與A關(guān)于直線x+3y=0對(duì)稱，且x+3y=0的斜率為﹣，
∴=3①，且+3×=0②，
聯(lián)立①②解得：a=2，b=1，∴O₂（2，1），
可設(shè)圓O₂的方程為：（x﹣2）²+（y+1）²=r²，
又圓O₁的方程為：x²+（y+1）²=4，
∴兩圓方程相減，即得兩圓公共弦MN所在直線的方程為4x+4y+r²﹣8=0，
∵|MN|=2，圓O₁的半徑為2，
∴O₁到直線MN的距離為==，
解得：r²=20或r²=4，
則圓O₂的方程為：（x﹣2）²+（y+1）²=20或（x﹣2）²+（y+1）²=4．