Question

過(guò)雙曲線(xiàn)2x²-y²=1上一點(diǎn)A（1，1）作兩條動(dòng)弦AB，AC，且直線(xiàn)AB，AC的斜率的乘積為3．
（1）問(wèn)直線(xiàn)BC是否可與坐標(biāo)軸垂直？若可與坐標(biāo)軸垂直，求直線(xiàn)BC的方程，若不與坐標(biāo)軸垂直，試說(shuō)明理由．
（2）證明直線(xiàn)BC過(guò)定點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）分類(lèi)討論，利用直線(xiàn)AB，AC的斜率的乘積為3，即可求得結(jié)論；
（2）令BC：y=kx+b，代入雙曲線(xiàn)方程，得出k+5b+1=0，所以-

1

5

=k•

1

5

+b，因此直線(xiàn)BC過(guò)定點(diǎn)M(

1

5

，-

1

5

)，直線(xiàn)y=-

1

5

也過(guò)定點(diǎn)，從而可得結(jié)論．

解答：（1）解：令B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．
當(dāng)BC與x軸垂直時(shí)，有x₁=x₂，y₁=-y₂，
故：3=

y1-1

x1-1

•

-y1-1

x1-1

=

1- y 2 1

(x1-1)2

=

2(1- x 2 1 )

(1-x1)2

=

2(1+x1)

1-x1

∴x₁=

1

5

，與|x₁|≥

2

2

矛盾，因此BC不與x軸垂直..（3分）
當(dāng)BC與y軸垂直時(shí)，有x₁=-x₂，y₁=y₂，
故：3=

y1-1

x1-1

•

y1-1

-x1-1

=

(1-y1 ) 2

1- x 2 1

=

2(1-y1)2

1- y 2 1

=

2(1-y1)

1+y1

∴y₁=-

1

5

，因此BC可與y軸垂直，此時(shí)BC的方程為y=-

1

5

．（5分）
（2）證明：當(dāng)BC不與坐標(biāo)軸垂直時(shí)，k_AB•k_AC=

y1-1

x1-1

•

y2-1

x2-1

=3，
故3（x₁-1）（x₂-1）=（y₁-1）（y₂-1）．…①…（6分）
令BC：y=kx+b，代入雙曲線(xiàn)方程有：2x²-（kx+b）²=1?（2-k²）x²-2kbx-b²-1=0．…②
x₁，x₂是方程②的兩個(gè)實(shí)根．令f（x）=（2-k²）x²-2kbx-b²-1，
則（x₁-1）（x₂-1）=

f(1)

2-k2

=

2-k2-2kb-b2-1

2-k2

．③…..（8分）
直線(xiàn)方程又可寫(xiě)成：x=

y-b

k

，代入2x²-y²=1，有：2（y-b）²-k²y²=k²，整理得：（2-k²）y²-4by+2b²-k²=0．…④
y₁，y₂是方程④的兩個(gè)實(shí)根．
令g（y）=（2-k²）y²-4by+2b²-k²．
（y₁-1）（y₂-1）=

g(1)

2-k2

=

2-2k2-4b+2b2

2-k2

．…⑤…（10分）   
③，⑤兩式代入①式，有：

3(1-k2-2kb-b2)

2-k2

=

2-2k2-4b+2b2

2-k2

，
故3[1-（k+b）²]=2[（b-1）²-k²]，
從而：3（1-k-b）（1+k+b）=2（b-1-k）（b-1+k）．…⑥
因?yàn)辄c(diǎn)A（1，1）不在直線(xiàn)y=kx+b上，故k+b≠1．
利用⑥，可知：3 （1+k+b）+2（b-1-k）=0，
即k+5b+1=0，所以-

1

5

=k•

1

5

+b． 
因此直線(xiàn)BC過(guò)定點(diǎn)M(

1

5

，-

1

5

)，直線(xiàn)y=-

1

5

也過(guò)定點(diǎn)M．
綜上所述，直線(xiàn)BC恒過(guò)定點(diǎn)M(

1

5

，-

1

5

)．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系，考查直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，難度較大．