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        1. 已知函數(shù)f(x)=
          (3a-1)x+5a,x<1
          logax,x≥1
          (a>0且a≠1),現(xiàn)給出下列命題:
          ①當(dāng)其圖象是一條連續(xù)不斷的曲線時,則a=
          1
          8
          ;
          ②當(dāng)其圖象是一條連續(xù)不斷的曲線時,能找到一個非零實數(shù)a使f(x)在(-∞,+∞)上是增函數(shù);
          ③當(dāng)a∈(
          1
          8
          ,
          1
          3
          )
          時,不等式f(1+a)•f(1-a)<0恒成立;
          ④函數(shù)y=f(|x+1|)是偶函數(shù).
          其中正確命題的序號是
          ①③
          ①③
          .(填上所有你認為正確的命題的序號)
          分析:①要滿足條件,則需要(3a-1)×1+5a=loga1,解得即可;
          ②由①可得a的值,看是否滿足增函數(shù)即可;
          ③由條件分別判斷f(1+a)與f(1-a)的符號即可;
          ④根據(jù)偶函數(shù)的定義判斷即可.
          解答:解:①當(dāng)其圖象是一條連續(xù)不斷的曲線時,則a滿足:a<0,a≠1,且(3a-1)×1+5a=loga1=0,解得a=
          1
          8
          ,故①正確;
          ②當(dāng)其圖象是一條連續(xù)不斷的曲線時,假設(shè)能找到一個非零實數(shù)a使f(x)在(-∞,+∞)上是增函數(shù),則a必須滿足
          a>1
          3a-1>0
          (3a-1)×1+5a=0
          ,解得a不存在,故②不正確;
          或由①可知:當(dāng)其圖象是一條連續(xù)不斷的曲線時,a=
          1
          8
          ,而此時log
          1
          8
          x
          是減函數(shù),故不符合題意,應(yīng)舍去,即滿足題意的a不存在;
          ③當(dāng)a∈(
          1
          8
          1
          3
          )
          時,1+a>1,1-a<1,∴f(1+a)=loga(1+a)<0,
          f(1-a)=(3a-1)(1-a)+5a=-3a2+9a-1=-3(a-
          3
          2
          )2+
          23
          4
          ,當(dāng)a∈(
          1
          8
          ,
          1
          3
          )
          時,此函數(shù)單調(diào)遞增,而f(1-
          1
          8
          )
          =
          5
          64
          >0,
          ∴當(dāng)a∈(
          1
          8
          ,
          1
          3
          )
          時,不等式f(1+a)•f(1-a)<0恒成立,即③正確;
          ④y=f(|x+1|=
          (3a-1) |x+1|+5a,當(dāng)-2<x<0時
          loga|x+1|,當(dāng)x≥0或x≤-2時
          ,其圖象關(guān)于y軸不對稱,故不是偶函數(shù),即④不正確.
          綜上可知:只有①③正確.
          故答案為①③.
          點評:正確理解函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性是解題的關(guān)鍵.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          3x+5,(x≤0)
          x+5,(0<x≤1)
          -2x+8,(x>1)
          ,
          求(1)f(
          1
          π
          ),f[f(-1)]
          的值;
          (2)若f(a)>2,則a的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=
          (1-3a)x+10ax≤7
          ax-7x>7.
          是定義域上的遞減函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是( 。
          A、(
          1
          3
          ,1)
          B、(
          1
          3
          1
          2
          ]
          C、(
          1
          3
          ,
          6
          11
          ]
          D、[
          6
          11
          ,1

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          |x-1|-a
          1-x2
          是奇函數(shù).則實數(shù)a的值為
           

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          2x-2-x2x+2-x

          (1)求f(x)的定義域與值域;
          (2)判斷f(x)的奇偶性并證明;
          (3)研究f(x)的單調(diào)性.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          x-1x+a
          +ln(x+1)
          ,其中實數(shù)a≠1.
          (1)若a=2,求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程;
          (2)若f(x)在x=1處取得極值,試討論f(x)的單調(diào)性.

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          同步練習(xí)冊答案