Question

【題目】已知函數(shù)。

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若的最大值，存在最小值，且，求證：。

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；（2）證明見解析。

【解析】

試題分析：（1）先求，討論和兩種情況，分別令得減區(qū)間，得增區(qū)間；（2）由（1）可知，且，（為的極值點(diǎn)），由題設(shè)，即，將代入上式，得，則。

試題解析：（1）由題設(shè)有，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，列表如下：

		0
	遞增	最大值	遞減

可知，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；

（2）由題設(shè)有，

若，在其定義域上單調(diào)遞增，無最小值，由（1）可知此時(shí)無最大值，故而令，又，

故唯一存在，使得，即，

列表如下

		0
		0
	遞減	最小值	遞增

由（1）可知，且，由題設(shè)，即，將代入上式有，化簡(jiǎn)得。構(gòu)造函數(shù)，

，易知為單調(diào)遞增函數(shù)，又，而當(dāng)，則唯一存在，使得，則當(dāng)遞減，當(dāng)，，遞增。又，故只會(huì)在有解，而，故（*）的解為，則。