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        1. 拋物線有光學(xué)性質(zhì):由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線折射后,沿平行于拋物線對稱軸的方向射出.今有拋物線y2=2px(p>0),一光源在點M(,4)處,由其發(fā)出的光線沿平行于拋物線對稱軸的方向射向拋物線上的點P,折射后又射向拋物線上的點Q,再折射后,又沿平行于拋物線對稱軸的方向射出,途中遇到直線l:2x-4y-17=0上的點N,再折射后又射回點M(如圖所示).

          (1)設(shè)P、Q兩點的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),證明:y1y2=-p2;

          (2)求拋物線的方程;

          (3)試判斷在拋物線上是否存在一點,使該點與點M關(guān)于PN所在的直線對稱?若存在,請求出此點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

          答案:(1)證明:由拋物線的光學(xué)性質(zhì)及題意知,光線PQ必過拋物線的焦點(,0),設(shè)直線方程為y=k(x-).

          得y2-y-p2=0.

          由韋達(dá)定理得y1y2=-p2.

          當(dāng)直線PQ的斜率不存在時,x=,y1y2=-p2也成立.

          (2)解:因為光線QN經(jīng)直線l反射后又射向M點,所以直線MN與直線QN關(guān)于直線l對稱,設(shè)M(,4)關(guān)于直線l的對稱點為M′(x′,y′),則

          解之,得

          所以直線QN的方程為y=-1,Q點的縱坐標(biāo)為y2=-1,由題意知P點的縱坐標(biāo)y1=4.由(1)的結(jié)論知y1y2=-p2,即p2=4,p=2.

          所以拋物線方程為y2=4x.

          (3)解:P點的坐標(biāo)為P(4,4),

          解得即N(,-1).

          所以直線PN的方程為2x+y-12=0.

          設(shè)M點關(guān)于直線PN的對稱點為M1(x1,y1),則

          解之,得

          M1(,-1)的坐標(biāo)是拋物線y2=4x的解,故拋物線上存在一點(,-1)與點M關(guān)于直線PN對稱.

          練習(xí)冊系列答案
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          (1)求拋物線C的方程;
          (2)求PQ的長度;
          (3)判斷四邊形MPQN是否為平行四邊形,若是請給出證明,若不是請說明理由.

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          拋物線有光學(xué)性質(zhì):由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線折射后,沿平行于拋物線對稱軸的方向射出。現(xiàn)已知拋物線的焦點為F,過拋物線上點的切線為,過P點作平行于x軸的直線m,過焦點F作平行于的直線交mM,則的長為( )

          A. B. C. D.

           

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          (2)求PQ的長度;
          (3)判斷四邊形MPQN是否為平行四邊形,若是請給出證明,若不是請說明理由.

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