Question

已知在四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是AC，BD的中點(diǎn)，若AB=2，CD=4，EF⊥AB，則EF與CD所成的角的度數(shù)為（　　）

A．90°

B．45°

C．60°

D．30°

Answer 1

分析：設(shè)G為AD的中點(diǎn)，連接GF，GE，利用三角形中位線(xiàn)定理，可證出EF⊥GF且∠FEG或其補(bǔ)角即為EF與CD所成角．最后在Rt△EFG中，利用正弦的定義算出∠GEF=30°，即得EF與CD所成的角的度數(shù)．

解答：解：設(shè)G為AD的中點(diǎn)，連接GF，GE，
則GF，GE分別為△ABD，△ACD的中線(xiàn)．
由此可得，GF∥AB且GF=

1

2

AB=1，
GE∥CD，且GE=

1

2

CD=2，
∴∠FEG或其補(bǔ)角即為EF與CD所成角．
又∵EF⊥AB，GF∥AB，∴EF⊥GF
因此，Rt△EFG中，GF=1，GE=2，
由正弦的定義，得sin∠GEF=

GF

GE

=

1

2

，可得∠GEF=30°．
∴EF與CD所成的角的度數(shù)為30°
故選：D

點(diǎn)評(píng)：本題給出空間四邊形相對(duì)的棱長(zhǎng)，在已知對(duì)角線(xiàn)的中點(diǎn)連線(xiàn)與一條棱垂直的情況下求異面直線(xiàn)所成的角，著重考查了是異面直線(xiàn)所成的定義及其求法等知識(shí)，屬于中檔題．本題利用三角形中位線(xiàn)定理，平行線(xiàn)的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．